Odgovor:
#= 6 # kubičnih jedinica
Obrazloženje:
normalni vektor je #((2),(3),(1))# koja ukazuje u smjeru oktanta 1, dakle, dotični volumen je ispod ravnine i u oktantu 1
možemo prepisati avion kao #z (x, y) = 6 - 2x - 3y #
za #z = 0 # imamo
- # z = 0, x = 0 podrazumijeva y = 2 #
- # z = 0, y = 0 podrazumijeva x = 3 #
i
- - # x = 0, y = 0 podrazumijeva z = 6 #
to je ovo:
volumen koji nam treba
#int_A z (x, y) dA #
# = int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 - 2x - 3y
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6y - 2xy - 3 / 2y ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x)
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3 x) - 2x (2-2 / 3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x)
# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6-4 x + 2/3 x ^ 2
# = 6x - 2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3) #
#= 18- 18 + 54/9 #
#= 6 #
Odgovor:
6
Obrazloženje:
Izvodit ćemo trostruki integral.
Kartezijanski koordinatni sustav je najviše primjenjiv. Redoslijed integracije nije kritičan. Idemo prvi put, y srednji, x zadnji.
#underline ("Određivanje ograničenja") #
U avionu #z = 6 - 2x - 3y # i na koordinatnoj ravnini #z = 0 # stoga
# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #
Uz # Z = 0 #, # Y # ide od 0 do # 3y = 6 - 2x # stoga
#y: 0 rarr 2 - 2 / 3x #
Uz # y = 0, z = 0 # stoga
#x: 0 rarr 3 #
Nalazimo volumen tako #f (x, y, z) = 1 #, Integral postaje
# Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) int_0 ^ (6-2x-3y) dzdydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3 x) z _0 ^ (6-2x-3y) dydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3 x) (6-2x-3y) dydx #
# = int_0 ^ 3 6y-2xy - 3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 / 9x ^ 2)) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #
# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #
#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #
#=6#
