Pitanje # 27939

Odgovor:

Kako je istaknuo Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # NIJE nula. (Zanemarila sam to provjeriti.) Ostale nule su # 1-sqrt3 i # i #1#.

Obrazloženje:

Budući da su svi koeficijenti realni brojevi, bilo koje imaginarne nule moraju se pojaviti u konjugiranim parovima.

Stoga, # 1-sqrt3 i # je nula.

Ako # C # je tada nula # Z-C # je faktor, kako bismo se mogli umnožiti

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # dobiti # ^ Z 2-2z + 4 #

i zatim podijelite #P (z) # po tom kvadratnom.

Ali brže je razmotriti moguću racionalnu nulu za # P # prvi. Ili dodajte koeficijente da biste to vidjeli #1# je također nula.

Odgovor:

#1# i # 1 - sqrt3 i #

Obrazloženje:

U vašem je pitanju došlo do pogreške. Korijen bi trebao biti # 1 + sqrt3 i #, To možete provjeriti stavljanjem vrijednosti u izraz. Ako je riječ o korijenu, izraz bi trebao biti jednak nuli.

Izraz ima sve realne koeficijente, tako da je teorema kompleksnog konjugiranog korijena (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), da je drugi kompleksni korijen # 1 - sqrt3 i #, Jasno, treći korijen (recimo # S #) mora biti stvaran, jer ne može imati složeni konjugat; inače će biti 4 korijena, što nije moguće za jednadžbu trećeg stupnja.

Bilješka

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Od # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Pokušat ćemo dobiti taj faktor u izrazu.

Možemo pisati:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Odgovor:

Kao uvod, mislim da bi trebao biti korijen #COLOR (plava) (1 + sqrt3) # i ne #COLOR (crveno) (- 1 + sqrt3) #

Na toj osnovi moj odgovor je:

#z u {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Obrazloženje:

Koristeći ideju kompleksni konjugati i neke druge cool trikovi.

#P (z) # je polinom stupnja #3#, To podrazumijeva da bi to trebalo imati #3# korijenje.

Jedna zanimljiva činjenica o složenim korijenima je da se nikada ne pojavljuju sami konjugiranih parova.

Pa ako # 1 + # isqrt3 jedan je korijen, a zatim njegov konjugat: # 1 isqrt3 # svakako je i korijen!

A budući da postoji samo još jedan korijen, možemo ga nazvati # Z = a #.

To nije kompleksan broj jer se kompleksni korijeni uvijek pojavljuju u parovima.

A budući da je ovo posljednja #3# korijeni, ne može biti drugog para nakon prvog!

Na kraju faktori #P (z) # lako su pronađeni # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "i" (z-a) #

NB: Napominjemo da je razlika između korijena i faktora sljedeća:

- Korijen bi mogao biti # Z = 1 + i #

Ali odgovarajući faktor bi bio # Z- (1 + i) #

Drugi je trik faktoringom #P (z) # trebali bismo dobiti nešto ovako:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Zatim proširite zagrade, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (a-2) + z (2a + 4) -4a #

Zatim izjednačavamo ovo s izvornim polinomom #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Budući da su dva polinoma identična, izjednačavamo koeficijente od # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #i # Z ^ 0 #(konstantan termin) na obje strane,

Zapravo, samo trebamo odabrati jednu jednadžbu i riješiti je # S #

Izjednačavanje konstantnih pojmova, # => - 4a--4 #

# => A = 1 #

Stoga je posljednji korijen #COLOR (plava) (z = 1) #