Odgovor:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k ili x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # za cijeli broj # K. #
Obrazloženje:
Radila sam na dva različita načina, ali mislim da je ovaj treći način najbolji. Postoji nekoliko formula s dvostrukim kutom za kosinus. Nemojmo ih iskušavati. Izbjegavajmo i jednadžbe kvadriranja.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Linearna kombinacija kosinusa i sinusa je kosinus s pomakom faze.
pustiti # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # i
# theta = tekst {Arc} tekst {tan} (2/1) #
Pokazao sam glavnu inverznu tangentu, ovdje u prvom kvadrantu, oko # Theta = 63.4 ^ circ #, Uvjereni smo
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Tako možemo prepisati našu jednadžbu
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) grijeh 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (- theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Uvijek zapamtite opće rješenje #cos x = cos a # je # x = pm a + 360 ^ circ k quad # za cijeli broj # K #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ cir + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Uzimajući znakove jedan po jedan, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ ili x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # konstanta možemo pokušati dobiti bolji izraz za:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3
Znamo # Fi # je u drugom kvadrantu, a ne u uobičajenom rasponu glavne vrijednosti.
#phi = tekst {Arc} tekst {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
To se ispostavilo da nije važno jer dodajemo # 180 ^ circ k # do # Fi # ionako u općem rješenju. Sve skupa, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k ili x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Ne moramo biti pedantni o glavnoj vrijednosti arctana; jer dodajemo # 180 ^ circ k # svaka vrijednost će učiniti. Mogli bismo napisati prvi # X = arctan (-3) # s # 180 ^ circ k # implicitno, ali ostavimo to ovdje.
