Što je projekcija (4 i + 4 j + 2 k) na (i + j -7k)?

Odgovor:

Vektorska projekcija je #< -2/17,-2/17,14/17 >#, skalarna projekcija je # (- 2sqrt (51)) / 17 #, Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

dan # Veca = (4i + 4j + 2k) # i # vecb = (i + j-7k) #, možemo pronaći #proj_ (vecb) Veca #, vektor projekcija # Veca # na # Vecb # koristeći sljedeću formulu:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

To jest, točkovni proizvod dva vektora podijeljen veličinom # Vecb #, pomnoženo s # Vecb # podijeljena veličinom. Druga količina je vektorska veličina, budući da vektor dijelimo pomoću skalara. Imajte na umu da dijelimo # Vecb # svojom veličinom kako bi se dobila a jedinični vektor (vektor s veličinom #1#).Možda ćete primijetiti da je prva količina skalarna, kao što znamo da kada uzmemo točkasti proizvod dvaju vektora, rezultanta je skalar.

Dakle, skalar projekcija # S # na # B # je #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, također napisano # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Možemo početi uzimajući točkovni proizvod dvaju vektora, koji se mogu zapisati kao # veca = <4,4,2> # i # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Tada možemo pronaći veličinu # Vecb # uzimanjem kvadratnog korijena od zbroja kvadrata svake komponente.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | | Vecb = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) *

# => Sqrt (1 + 1 + 49) = kvadratni korijen (51), #

I sada imamo sve što je potrebno za pronalaženje vektorske projekcije # Veca # na # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Koeficijent možete raspodijeliti na svaku komponentu vektora i napisati kao:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Skalarna projekcija # Veca # na # Vecb # je samo prva polovica formule, gdje #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, Stoga je skalarna projekcija # -6 / sqrt (51) #, što ne pojednostavljuje dalje, osim racionalizacije nazivnika ako se želi, davanje # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2skrt (51)) / 17 #

Nadam se da pomaže!