Što je projekcija (i -2j + 3k) na (3i + 2j - 3k)?

Odgovor:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Obrazloženje:

Da bismo ih lakše pozvali, nazovimo prvi vektor #vec u # i drugi #vec v #, Želimo projekt #vec u # na #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

To je, riječima, projekcija vektora #vec u # na vektor #vec v # je točkasti proizvod dvaju vektora, podijeljenih kvadratom duljine #vec v # vremena vektora #vec v #, Imajte na umu da je dio unutar zagrada skalar koji nam govori koliko daleko u smjeru #vec v # projekcija doseže.

Prvo, pronađimo duljinu #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Ali imajte na umu da u izrazu ono što zapravo želimo # || vec v || ^ 2 #, pa ako zaokružimo obje strane, tek ćemo dobiti #22#.

Sada nam treba točkasti proizvod #vec u # i #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(Da bismo pronašli točkasti proizvod, pomnožimo koeficijente od #i, j i k # i dodajte ih)

Sada imamo sve što nam treba:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j 3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #