Odgovor:
Nema rješenja u sustavu # RR #.
Obrazloženje:
Prije svega, pojednostavimo malo:
Kao # E ^ x # i #ln (x) * su inverzne funkcije, # e ^ ln (x) = x # drži kao i #ln (e ^ x) = x #, To znači da možete pojednostaviti svoj treći logaritmički pojam:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Vaš sljedeći cilj je donijeti sve # Dnevnik # funkcije na istoj bazi, tako da imate priliku koristiti logaritamska pravila na njima i pojednostaviti.
Baza logaritma možete promijeniti na sljedeći način:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Iskoristimo ovo pravilo za promjenu baze #8# od # Log_8 # i bazu #32# od # Log_32 # do baze #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Sada možemo izračunati # log_2 (8) = 3 # i # log_2 (32) = 5 #
(u slučaju da nije jasno dopustite mi da ga razložim samo kako bi bili sigurni: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
To nas dovodi do sljedeće, jednostavnije, logaritamske jednadžbe:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… pomnožite obje strane s #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Sada smo spremni koristiti pravila logaritma:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # i #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Cilj je imati samo jednu # Dnevnik # na lijevoj strani. Učinimo to.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
U ovom trenutku možemo se riješiti # Log_2 (a) # primjenom inverzne funkcije # 2 ^ s # na obje strane jednadžbe.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Nažalost, moram priznati da sam zaglavio u ovom trenutku jer ne znam kako riješiti ovu jednadžbu.
Međutim, planiranje #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # mi kaže da ova jednadžba nema rješenja u # RR #.
graf {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
Nadam se da je ovo malo pomoglo!
