Dokazati: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Dokazati

# Tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2),) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) *

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2),) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2 x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2 x) ^ 2) *

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = grijeh ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Dokazao

Ovo je jedan od onih dokaza koji se lakše rade s desna na lijevo. Početi sa:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2),) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Pomnožite brojnik i nazivnik ugrađenih frakcija pomoću "konjugata" (npr. # 1pmsinx # na # 1 x sinx #). Dobivate to, na primjer, # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) / (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2 x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2 x) (1 + cosx))) *

Ponovite prethodni korak da biste pojednostavili imenitelj u ugrađenim dijelovima:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / ((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2 x) ^ 2),), - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2 x) ^ 2),) *

Koristite identitete # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # i # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # dobiti:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x))) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) *

Kombinirajte razlomke i okrećite da biste pomnožili reciprocale

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Proširite kvadrate:

# = (poništi (1) + 2sinx + otkazati (sin ^ 2x) - (poništi (1) -2sinx + otkazati (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (otkazati (1) + 2cosx + poništavanje (cos ^ 2 x) - (otkazivanje (1) + -2cosx poništavanje (cos ^ 2 x))) *

# = (poništi (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (poništi (4) cosx) #

# = boja (plava) (tan ^ 5x) #