Tri Grka, tri Amerikanca i tri Talijana nasumce sjede za okruglim stolom. Koja je vjerojatnost da ljudi u tri skupine sjednu zajedno?

Odgovor:

#3/280#

Obrazloženje:

Izbrojimo načine na koje bi se sve tri skupine mogle smjestiti jedna do druge i usporediti to s brojnim načinima na koje bi se svi nasumice mogli smjestiti.

Brojit ćemo ljude od 1 do 9 i grupe #A, G, I. #

#stackrel A overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

Postoje 3 skupine, tako da postoje #3! = 6# načine raspoređivanja grupa u liniji bez ometanja njihovih internih naloga:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Do sada nam to daje 6 valjanih permuacija.

Unutar svake skupine, postoje 3 člana, tako da opet postoje #3! = 6# načine organiziranja članova unutar svake od tri skupine:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

U kombinaciji sa 6 načina za organiziranje grupa, sada imamo #6^4# do sada valjane permutacije.

A budući da smo na okruglom stolu, dopuštamo 3 aranžmana u kojima prva grupa može biti "pola" na jednom kraju i "pola" na drugoj:

# "A A A G G I I" #

# "A A G G I I I" #

# "A G G I I A A" #

Broj ukupnih načina da se sve tri skupine smjeste zajedno jest # 6 ^ 4 xx 3. #

Broj slučajnih načina raspoređivanja svih 9 osoba je #9!#

Tada je vjerojatnost slučajnog odabira jednog od "uspješnih" načina

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#