Pitanje # f8e6c

Odgovor:

Izrazite ga kao geometrijsku seriju kako biste pronašli sumu #12500/3#.

Obrazloženje:

Izrazimo to kao sumu:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

Od #1.12=112/100=28/25#, to je jednako:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Koristeći tu činjenicu # (A / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ C #, imamo:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Također, možemo povući #500# od znaka za sumiranje, kao što je ovaj:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

U redu, što je ovo? Dobro, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # je ono što je poznato kao geometrijske serije, Geometrijska serija uključuje eksponent, što je upravo ono što imamo ovdje. Strašan stvar o geometrijske serije kao što je ovaj jedan je da se sumirati do # R / (1-f) #, gdje # R # je zajednički omjer; tj. broj koji je podignut na eksponent. U ovom slučaju, # R # je #25/28#, jer #25/28# je ono što je podignuto na eksponent. (Strana napomena: # R # mora biti između #-1# i #1#, inače se serija ne svodi na ništa.)

Stoga je zbroj ove serije:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Upravo smo to otkrili #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, tako da je jedino što je preostalo da je umnožimo #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Ovdje možete saznati više o geometrijskim serijama (ohrabrujem vas da gledate cijelu seriju Khan Academy na geometrijskoj seriji).