Y = f (x).Graf, y = f (3x) -2 i y = -f (x-1)?

Odgovor:

Nemate pri ruci papir za crtanje - nadam se da opis pomaže!

Obrazloženje:

Za # Y = f (3 x) -2 # prvi iscijediti dani graf uz #x# osi za faktor 3 (tako da se na lijevoj ruci javlja minimum, npr # X = -2/3 #), a zatim gurnite cijeli grafikon dolje za 2 jedinice. Tako će novi graf imati minimum od #x = -2 / 3 # s vrijednošću # y = -2 #, maksimalno na #(0,0)# i drugi minimum na #(4/3, -4)#

Za # Y = f (x-1) # prvo pomaknite graf 1 jedinicu na pravo, onda ga okrenite naopako! Dakle, novi graf će imati dva maksimumi na #(-1,0)# i #(5,2)# i minimalno na #(1,-2) #

Odgovor:

Evo detaljnijeg objašnjenja

Obrazloženje:

Problemi su posebni slučajevi općenitijeg problema:

S obzirom na grafikon za # Y = f (x) *, što je graf od #y = a f (b x + c) + d # ?

(prva je za # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, dok je drugi za # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Pokušat ću objasniti odgovor korak po korak, rješavajući problem korak po korak. To će biti prilično dug odgovor, ali nadamo se da će opći princip biti jasan do kraja.

Za ilustraciju koristit ću određenu krivulju koju ću prikazati u nastavku, ali ideja će funkcionirati općenito.

(Ako je netko zainteresiran, funkcija koja se ovdje iscrtava #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) S obzirom na grafikon za # Y = f (x) *, što je graf od #y = f (x) + d # ?

Ovaj je jednostavan - sve što trebate učiniti je da zapazite ako # (X, y) # zatim je točka na prvom grafikonu # (X, y + d) # je točka na drugoj. To znači da je drugi graf viši od prvog za daljinu # D # (naravno ako # D # je negativan, niži je od prvog grafa # | D | #).

Dakle, graf od # Y = f (x) 1 + # bit će

Kao što možete vidjeti, graf za #y = f (x) + 1 # (čvrsta ljubičasta crta) dobiva se jednostavnim guranjem grafa za # Y = f (x) * (siva isprekidana linija) gore za jednu jedinicu.

Graf za # Y = f (x) -1 # može se pronaći pomicanjem izvornog grafikona dolje po jednoj jedinici:

2) S obzirom na grafikon za # Y = f (x) *, što je graf od #y = f (x + c) # ?

Lako je vidjeti ako # (X, y) # je točka na # Y = f (x) * zatim graf # (X-c, y) # će biti točka na #y = f (x + c) # grafikon. To znači da možete dobiti grafikon #y = f (x + c) # iz grafikona #y = f (x) # jednostavno prebacivanjem na lijevo po # C # (naravno ako # C # je negativan, morate premjestiti originalni grafikon za # | C | # nadesno.

Kao primjer, graf za # Y = f (x + 1) # može se pronaći guranjem izvornog grafa u lijevo po jednoj jedinici:

dok za to # Y = f (x-1) # uključuje pomicanje izvornog grafikona u pravo po jednoj jedinici:

3) S obzirom na graf za # Y = f (x) *, što je graf od #y = f (bx) # ?

Od #f (x) = f (b puta x / b) # slijedi da ako # (X, y) # je točka na #y = f (x) # zatim graf # (x / b, y) # je točka na # Y = f (bx) # grafikon.

To znači da izvorni graf mora biti stisnut za faktor od # B # uz #x# os. Naravno, stiskanje # B # je stvarno istezanje po # 1 / b # za slučaj gdje # 0 <b <1 #

Graf za # Y = f (2 x) * je

Imajte na umu da, dok visina ostaje ista na 1, širina se smanjuje za faktor 2. Konkretno, vrh izvorne krivulje pomaknuo se od # X = 1 # do # X = 1/2 #.

S druge strane, graf za # Y = f (x / 2) * je

Imajte na umu da je ovaj grafikon dvostruko širi (stiskanje do #1/2# isto kao istezanje za faktor 2), a vrh se također pomaknuo # X = 1 # do # X = 2 #.

Posebno treba spomenuti slučaj u kojem # B # je negativan. Najbolje je da o tome razmišljate kao o procesu u dva koraka

• Najprije pronađite grafikon # Y = f (X) #, i onda
• stisnite dobiveni grafikon pomoću # | B | #

Imajte na umu da za svaku točku # (X, y) # izvornog grafa, točka # (- x, y) # je točka na grafu # Y = f (X) # - tako da se novi grafikon može pronaći tako da se odražava stari graf # Y # os.

Kao ilustraciju procesa od dva koraka razmotrite grafikon # Y = f (-2 x) * prikazano ispod:

Ovdje je izvorna krivulja, za koju # Y = f (x) * je najprije zrcaljeno oko # Y # za dobivanje krivulje za # Y = f (X) # (tanka cijan linija). Tada se taj faktor stisne #2# za dobivanje krivulje # Y = f (-2 x) * - gusta ljubičasta krivulja.

4) S obzirom na grafikon za # Y = f (x) *, što je graf od #y = af (x) # ?

Uzorak je ovdje isti - ako # (X, y) # tada je točka na izvornoj krivulji # (X, ay) # je točka na grafu # Y = af (x) *

To znači da za pozitivan # S #, graf se rasteže za faktor od # S # uz # Y # os. Opet, vrijednost od # S # između 0 i 1 znači da će umjesto da se rastegne, krivulja zapravo biti stisnuta faktorom od # 1 / a # uz # Y # os.

Krivulja ispod je za # y = 2f (x) #

Imajte na umu da je vrijeme dok je vrh na istoj vrijednosti #x# - njegova visina se udvostručila na 2 od 1. Naravno da nije samo vrh koji je bio ispružen - # Y # koordinata svake točke izvorne krivulje udvostručena je da bi se dobila nova krivulja.

Donja slika ilustrira stiskanje do kojeg dolazi kada #0<>

Još jednom, slučaj za #A <0 # zahtijeva posebnu pažnju - i bolje je ako to učinite u dva koraka

1. Najprije okrenite krivulju naopako o #X# za dobivanje krivulje za # Y = f (x) *
2. Ispružite krivulju za # | A | # uz # Y # os.

Krivulja za # Y = f (x) * je

dok slika ispod ilustrira dva koraka za crtanje krivulje #y = -2f (x) #

Sve skupa

Sada kada smo prošli kroz pojedine korake, stavimo ih sve zajedno! Postupak za crtanje krivulje za

# y = a f (bx + c) + d #

počevši od toga od # Y = f (x) * suštinski se sastoji od sljedećih koraka

1. Iscrtaj krivulju # Y = f (x + c) #: pomaknite graf za udaljenost # C # nalijevo
2. Onda isplanirajte to #y = f (bx + c) #: stisnite krivulju koju dobijete od koraka 1 u #X# smjera prema faktoru # | B | #, (prvo je okrenuo o # Y # osi ako #b <0 #)
3. Zatim iscrtajte graf # Y = af (bx + c) #: izmjerite krivulju koju ste dobili od koraka 2 do faktora od # S # u okomitom smjeru.
4. Konačno gurnite krivulju koju dobijete u koraku 3 za udaljenost # D # da biste dobili konačni rezultat.

Naravno da je potrebno izvršiti sva četiri koraka samo u ekstremnim slučajevima - često će se napraviti manji broj koraka! Također, slijed koraka je važan.

U slučaju da se pitate, ovi koraci slijede iz činjenice da ako # (X, y) # je točka na # Y = f (x) * graf, zatim točka

# ({x-c} / b, ay + d) # je na # Y = af (bx + c) + d # grafikon.

Dopustite mi da ilustriram proces primjerom s našom funkcijom #F (x) *, Pokušajmo konstruirati grafikon za #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Prvo - pomak ulijevo za 3 jedinice

Zatim: stisnite za faktor 2 duž #X# os

Zatim, okrećući grafikon o #X# a zatim skaliranje za faktor 2 zajedno # Y #

Konačno, pomicanje krivulje za 1 jedinicu - i gotovi smo!