Kolika je udaljenost između (0, 0, 8) i (9, 2, 0)?

Odgovor:

Udaljenost je #sqrt (149) #

Obrazloženje:

Udaljenost između dvije točke

# (x_1, y_1, z_1) #

i

# (x_2, y_2, z_2) #

u # RR ^ 3 # (tri dimenzije)

# "udaljenost" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Primjenjujući ga na problem, dobivamo udaljenost između #(0, 0, 8)# i #(9, 2, 0)# kao

# "udaljenost" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Slijedi objašnjenje odakle dolazi formula za udaljenost i nije potrebna za razumijevanje gore navedenog rješenja.

Gore navedena formula izgleda sumnjivo slična formuli udaljenosti u # RR ^ 2 # (dvije dimenzije):

# "udaljenost" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

koji proizlazi iz jednostavne primjene Pitagorina teorema, crtanjem pravog trokuta između dvije točke s nogama paralelnim #x# i # Y # osi.

Ispada da # RR ^ 3 # verzija može biti izvedena na sličan način. Ako koristimo (najviše) 3 linije za povezivanje dvije točke, idući paralelno s #x#, # Y #, i # Z # osi, dobivamo kutiju s točkama u suprotnim kutovima. Dakle, shvatimo kako izračunati udaljenost preko dijagonale kutije.

Pokušavamo shvatiti duljinu crvene linije #COLOR (crveno) (AD) #

Kao što je to hipotenuza trokuta # ABD #, iz Pitagorina teorema:

# (boja (crvena) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (boja (plava) (BC)) ^ 2 #

# => boja (crvena) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (boja (plava) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Nažalost, nemamo duljinu #COLOR (plava) (BD) # kao dan. Da bismo ga dobili, moramo ponovno primijeniti Pitagorin teorem, ovaj put na trokut # BCD #.

# (boja (plava) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Kao što nam samo treba kvadrat #COLOR (plava) (BD) #, sada možemo zamijeniti # ("II") # u # ("I") #:

#color (crveno) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Konačno, ako jesmo # S # na # (x_1, y_1, z_1) # i # D # na # (x_2, y_2, z_2) #, onda imamo duljine

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Zamjenjujući ih u gore navedeno daje nam željeni rezultat.

Kao dodatna napomena, dok mi možemo jednostavno napraviti geometrijske dokaze u do 3 dimenzije, matematičari imaju generaliziranu udaljenost u # RR ^ n # (# # N dimenzije). Udaljenost između

# (x_1, x_2, …, x_n) # i # (y_1, y_2, …, y_n) # definira se kao

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

koji odgovara uzorku iz # RR ^ 2 # i # RR ^ 3 #.