Odgovor:
Diskriminant #Delta# od # m ^ 2 + m + 1 = 0 # je #-3#.
Tako # m ^ 2 + m + 1 = 0 # nema stvarnih rješenja. Ima konjugirani par složenih rješenja.
Obrazloženje:
# m ^ 2 + m + 1 = 0 # je forme # am ^ 2 + bm + c = 0 #, s # A = 1 #, # B = 1 #, # c = 1 #.
Ovo je diskriminantno #Delta# daje se formulom:
#Delta = b ^ 2-4ac = 1 ^ 2 - (4xx1xx1) = -3
To možemo zaključiti # m ^ 2 + m + 1 = 0 # nema pravih korijena.
Korijeni # m ^ 2 + m + 1 = 0 # daju se kvadratnom formulom:
#m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) #
Primijetite da je diskriminantni dio unutar kvadratnog korijena. Pa ako #Delta> 0 # tada kvadratna jednadžba ima dva različita stvarna korijena. Ako #Delta = 0 # onda ima jedan ponovljeni pravi korijen. Ako #Delta <0 # onda ima par različitih složenih korijena.
U našem slučaju:
#m = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) = (-1 + -sqrt (-3)) / 2 = (-1 + -i sqrt (3)) / 2 #
Broj # (- 1 + i sqrt (3)) / 2 # često se označava grčkim slovom #omega#.
To je primitivni korijen kocke #1# i važan je pri pronalaženju svih korijena opće kubične jednadžbe.
Primijeti da # (m-1) (m ^ 2 + m + 1) = m ^ 3 - 1 #
Tako # omega ^ 3 = 1 #
Odgovor:
Diskriminant od # (M ^ 2 + m + 1 = 0) # je #(-3)# što nam govori da ne postoje stvarna rješenja jednadžbe (graf jednadžbe ne prelazi m-osu).
Obrazloženje:
S obzirom na kvadratnu jednadžbu (pomoću # M # kao varijablu) u obliku:
#COLOR (bijela) ("XXXX") ## am ^ 2 + bm + c = 0 #
Rješenje (u smislu # M #) daje kvadratna formula:
#COLOR (bijela) ("XXXX") ##m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #
diskriminirajući je dio:
#COLOR (bijela) ("XXXX") ## B ^ 2-4ac #
Ako je diskriminirajući je negativan
#COLOR (bijela) ("XXXX") #tamo može biti nema pravih rješenja
#COLOR (bijela) ("XXXX") #(budući da nema stvarne vrijednosti koja je kvadratni korijen negativnog broja).
Za navedeni primjer
#COLOR (bijela) ("XXXX") ## m ^ 2 + m + 1 = 0 #
diskriminant, #Delta# je
#COLOR (bijela) ("XXXX") ##(1)^2 - 4(1)(1) = -3#
i stoga
#COLOR (bijela) ("XXXX") #nema pravih rješenja za ovo kvadratno.
