Što je djelomično kontinuirana funkcija? + Primjer

Odgovor:

Komadna kontinuirana funkcija je funkcija koja je kontinuirana osim na konačnom broju točaka u svojoj domeni.

Obrazloženje:

Treba napomenuti da točke diskontinuiteta dijela kontinuirane funkcije ne moraju biti uklonjivi diskontinuiteti. To znači da ne moramo zahtijevati da se funkcija neprekidno redefinira u tim točkama. Dovoljno je da ako izuzmemo te točke iz domene, onda je funkcija kontinuirana na ograničenoj domeni.

Na primjer, razmotrite funkciju:

#s (x) = {(-1, "ako x <0"), (0, "ako je x = 0"), (1, "ako x> 0"):} #

grafikon {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2.5, 2.5}

Ovo je kontinuirano za sve #x u RR # osim #x = 0 #

Diskontinuitet na # X = 0 # nije uklonjivo. Ne možemo redefinirati # s (X) * u tom trenutku i dobiti kontinuiranu funkciju.

Na # X = 0 # graf funkcije 'skokova'. Formalno, u jeziku ograničenja nalazimo:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Stoga se granica lijevog i desnog ograničenja međusobno ne slažu s vrijednošću funkcije na # X = 0 #.

Ako iz domene isključimo konačni skup diskontinuiteta, tada će funkcija ograničena na ovu novu domenu biti kontinuirana.

U našem primjeru definicija # s (X) * kao funkcija od # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # je kontinuirano.

Ako grafički prikažemo # s (X) * ograničeno na ovu domenu, i dalje izgleda kao da je diskontinuirano na #0#, ali #0# nije dio domene, tako da je "skok" nebitan. U bilo kojem trenutku, proizvoljno blizu #0#, možemo odabrati mali otvoreni interval oko njega u kojem je funkcija (konstantna i stoga) kontinuirana.

Malo zbunjujuće, funkcija #tan (x) * smatra se kontinuiranim - a ne kontinuiranim kontinuitetom, jer asimptote na #x = pi / 2 + n pi # su izuzete iz domene.

graf {tan (x) -10,06, 9,94, -4,46, 5,54}

U međuvremenu, pileća funkcija #f (x) = x - kat (x) # se ne smatra komadnom neprekidnom kao funkcija od # RR # do # RR #, ali je djelomično kontinuirano na bilo kojem konačnom otvorenom intervalu.

grafikon {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2.56, 2.44, -0.71, 1.79}