Odgovor:
Elipsa
Obrazloženje:
Konike se mogu predstaviti kao
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
gdje #p = {x, y} # i
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
Za konike #m_ {12} = m_ {21} # zatim # M # svojstvene vrijednosti su uvijek realne jer je matrica simetrična.
Karakteristični polinom je
#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + {m_ 22}) X + det (M) #
Ovisno o njihovim korijenima, konika se može klasificirati kao
1) Jednaki --- krug
2) Isti znak i različite apsolutne vrijednosti --- elipsa
3) Znakovi različitih --- hiperbola
4) Jedan nulti korijen --- parabola
U ovom slučaju imamo
#M = ((4,0), (0,8)) #
s karakterističnim polinomom
# X ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
s korijenima #{4,8}# tako da imamo elipsu.
Kao elipsa za nju postoji kanonska reprezentacija
# ((X-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2-1 #
# X_0, y_0, a, b # može se odrediti kako slijedi
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 za sve x RR #
davanje
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #
rješavamo se
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #
tako
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #
