Kako riješiti sustav x ^ 2 + y ^ 2 = 9 i x-3y = 3?

Odgovor:

Postoje dva rješenja za ovaj sustav: točke #(3,0)# i #(-12/5, -9/5)#.

Obrazloženje:

To je zanimljiv sustav problema jednadžbi jer daje više od jednog rješenja po varijabli.

Zašto se to događa, sada možemo analizirati. Prva jednadžba je standardni oblik kruga s radijusom #3#, Druga je pomalo neuredna jednadžba za liniju. Očišćeno, izgledalo bi ovako:

#y = 1/3 x - 1 #

Dakle, naravno, ako uzmemo u obzir da će rješenje za ovaj sustav biti točka u kojoj se linija i krug križaju, ne treba se iznenaditi kad saznajemo da će postojati dva rješenja. Jedna kada linija uđe u krug, a druga kad ode. Pogledajte ovaj grafikon:

graf {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Prvo ćemo početi manipuliranjem druge jednadžbe:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Možemo to izravno umetnuti u prvu jednadžbu za rješavanje # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Očito je da ova jednadžba ima dva rješenja. Jedan za #y = 0 # i drugo za # 9 + 5y = 0 # što znači #y = -9 / 5 #.

Sada možemo riješiti za #x# na svakoj od njih # Y # vrijednosti.

Ako # Y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Ako #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Dakle, naša dva rješenja su točke: #(3,0)# i #(-12/5, -9/5)#, Ako pogledate natrag na grafikon, možete vidjeti da oni jasno odgovaraju dvjema točkama u kojima je linija prešla krug.