Neka je S kvadrat jedinične površine. Razmotrimo svaki četverokut koji ima jedan vrh na svakoj strani S. Ako a, b, c i d označavaju duljine stranica četverokuta, dokazati da 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <4?

pustiti # ABCD # biti kvadrat jedinice površine.

Tako # AB = BC = CD = DA = 1 # jedinica.

pustiti # PQRS # biti četverokut koji ima jednu točku na svakoj strani trga. Ovdje neka # PQ = b, c = QR, RS = dandSP = a #

Primjenjujući Pythagoras thorem možemo pisati

# A ^ 2 + b + c ^ 2 ^ 2 + d ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-m) ^ 2 + m ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-il) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x + y ^ 2 ^ 2 + 2 + z ^ m ^ 2-x-y-z-w) *

# = 2 + 2 (1 + x + y ^ 2 ^ 2 + 2 + z ^ m ^ 2-x-y-z-w) *

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (m-1/2) ^ 2) *

Sada po problemu koji imamo

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Stoga

# 2 <= a + b ^ 2 ^ 2 + c + d ^ 2 ^ 2 <4 #