Što je ortocentar trokuta s vrhovima na O (0,0), P (a, b) i Q (c, d) #?

Odgovor:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Obrazloženje:

Ja sam generalizirao ovo staro pitanje umjesto da postavljam novo. Učinio sam to prije za pitanje circumcenter i ništa loše dogodilo, pa sam nastavio seriju.

Kao i prije, stavio sam jedan vrh na podrijetlo kako bih pokušao održati algebru. Lako preveden je proizvoljni trokut, a rezultat je lako preveden natrag.

Ortocentar je sjecište visina trokuta. Njezino postojanje temelji se na teoremu da se visine trokuta presijecaju u jednoj točki. Kažemo da su tri visine istovremen.

Dokazati da su visine trokuta OPQ istodobne.

Vektor smjera strane OP je # P-O-P = (a, b), # što je samo otmjen način da se kaže da je nagib # B / a # (ali vektor pravca radi i kada # A = 0 #). Dobivamo pravac vektora okomice, zamjenjujući koordinate i negirajući jedan ovdje # (B, -a). # Okomito se potvrđuje proizvodom nulte točke:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Parametarska jednadžba nadmorske visine od OP do Q je dakle:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # stvarno # T #

Nadmorska visina od OQ do P je slična

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # stvarno # U #

Vektor smjera PQ je # P-P = (c-a, d-b) #, Okomica kroz podrijetlo, tj. Visinu od PQ, je stoga

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # stvarno # # V

Pogledajmo susret visina OP i PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

To su dvije jednadžbe u dvije nepoznanice, # T # i # # V.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Prvo ćemo pomnožiti # S # i drugi # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Dodavanje, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab - bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Način hlađenja s točkastim proizvodom u brojniku i križnom proizvodu u nazivniku.

Susret je pretpostavljeni ortocentar # (X, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Pronaći ćemo susrete visina OQ i PQ. Po simetriji možemo samo zamijeniti # S # s # C # i # B # s # D #, Nazvat ćemo rezultat # (X 'y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb-da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Imamo ova dva raskrižja koja su ista, # (x ', y') = (x, y), # tako smo dokazali da su visine istodobne. #quad sqrt #

Opravdali smo imenovanje zajedničkog raskrižja orthocenter, i pronašli smo njegove koordinate.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #