Što je ortocentar trokuta s kutovima u (9, 7), (4, 4) i (8, 6) #?

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Nazvat ćemo vrhove # A = (4,4) *, # B = (9,7) * i # C = (8,6) *.

Moramo pronaći dvije jednadžbe koje su okomite na dvije strane i prolaze kroz dva vrha. Možemo pronaći nagib dviju strana, a time i nagib dviju okomitih linija.

Nagib AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Nagib okomit na ovo:

#-5/3#

To mora proći kroz vrh C, tako da je jednadžba retka:

# Y-6 = -5 / 3 (x-8), #, # 3y = -5x + 58 # 1

Nagib BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Nagib okomit na ovo:

#-1#

To mora proći kroz vrh A, tako da je jednadžba retka:

# Y-4 = - (x-4) *, # Y = -x + 8 # 2

Gdje se sjecište 1 i 2 nalazi u ortocentru.

Rješavanje istovremeno 1 i 2:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = 58 + -5x #

# -3x + 24 = 58 + 5 x => X: 34/2 = 17 #

Korištenje 2:

# Y = -17 + 8 = -9 #

orthocenter:

#(17, -9)#

Budući da je trokut tup, ortocentar je izvan trokuta. to se može vidjeti ako produžite visinske linije dok ne prijeđu.

Odgovor:

orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

kružnice

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Obrazloženje:

orthocenter

dan # p_1, p_2, p_3 # i

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # tako da

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Ti vektori se lako dobivaju, na primjer

# p_1 = (x_1, y_1) # i # p_2 = (x_2, y_2) # i onda

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Sada imamo

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Ta tri reda presijecaju se u ortocentru trokuta

Odabir # L_1, L_2 # imamo

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # ili

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

davanje jednadžbi

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>)} #

Sada se rješava # Lambda_1, lambda_2 # imamo

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

i onda

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

kružnice

Jednadžba opsega je dana

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

sada ako # {p_1, p_2, p_3} u C # imamo

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

oduzimanjem prvog od drugog

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0

oduzimanjem prvog od trećeg

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

davanje sustava jednadžbi

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (2 ^ x_3 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) *

Sada zamjenjujući dane vrijednosti dobivamo

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Priloži se grafikon koji prikazuje ortocentar (crveni) i središte kruga (plavo).